长伟芬，方城，运东，文定兴，李伦

常微分方程运动稳定性理论

动力系统的运动稳定性理论是由俄国数学家-玛纳斯在19世纪90年代首创的。它是研究扰动因素对运动系统的影响。扰动因子可以是瞬时的，引起系统初始状态的改变。或者它可以继续行动，引起系统本身的变化。前者通常是主要考虑因素。小的扰动对不同系统的运动有不同的影响。对于某些运动，这种影响不显著，受干扰运动与未受干扰运动之间的差异很小。然而，对于某些运动，干扰的影响可能是如此显著，以至于无论干扰多么小，受干扰的运动和未受干扰的运动随着时间的推移可能会有很大的不同。简而言之，前一种类型的运动是稳定的，后一种类型的运动是不稳定的。运动稳定性理论就是建立一些标准，用来判断所考虑的运动是稳定的还是不稳定的。

一般来说，动力系统的数学模型可以写成

(1)

yi是与运动相关的参数，比如坐标和速度，或者是这些量的函数。方程(1)的解称为运动。问题是初值条件的微小变化是否会导致解的微小变化。考虑系统的任何特定运动，它对应于(1)的某个特解。

称这个特解为无扰动运动，以区别于系统的其他运动；后者称为扰动运动。量yi是摄动运动和无摄动运动之间的差，称为扰动。

对于任意正，无论有多小，总能找到另一个正 ()使yi=yi(t)(i=1,2，…)N，只要t=0在初始时刻满足不等式

(2)

它满足这个不等式对于所有tt0

(3)

则(1)的无扰动运动相对于yi是稳定的；否则称为不稳定。由此可以得出，如果的个数固定，无论的个数多小，即使只有一个扰动运动，也满足不等式(2)，但在某一点上，只要不等式(3)中的一个相等，则无扰动运动是不稳定的。如果一个无扰动运动不仅是稳定的，而且当初始扰动足够小时，当t无限增加时，所有的无扰动运动都逐渐接近于无扰动运动，我们就说它是渐近稳定的。

为了研究方程(1)的特解yi=共享i(t)(i=1,2，…N)稳定性问题，一般比较难。因此，对式(1)引入坐标变换。

(4)

所以有

(5)

明显的

像这样，我们可以和你分享方程组(1)的特解，比如i(t)(i=1,2，…)N)稳定性问题简化为平凡解xi=0(i=1,2…N)稳定性问题。

在这种情况下，不等式(2)和不等式(3)变成

(6)

及

(7)

因此，上述稳定性的定义可表示为：

如果对于任何正，不管有多小，你都可以选择另一个正()，使得对于所有扰动运动xi=xi(t)(i=1,2…N)，只要在初始时刻t0满足不等式(6)，在任意时刻tt0满足不等式(7)，则(5)的无摄动运动xi=0(i=1,2…N)是稳定的。否则，xi=0(i=1,2…N)不稳定。

如果无扰动运动xi=0(i=1,2…N)是稳定的，并且数很小，使得所有满足不等式(6)的扰动运动都满足这个条件。

则xi=0 (i=1,2…N)是渐近稳定的。

这是李雅普诺夫在其博士论文《运动稳定性一般问题》(1892)中给出的常微分方程解的稳定性的定义，在李雅普诺夫意义上常称为稳定性。它具有以下特点：

(1)首先，Lyapunov稳定性概念是一个局部概念，它涉及到所考虑状态附近的性质，因此初始扰动的范围很小，即值很小；

(2)时间t的值在无限长区间[t0， +]内；

(3)初始扰动的大小与初始时间t0的选择无关；

(4)初始扰动后无其他外界干扰；

(5)无扰动运动与扰动运动服从同一方程，并将两者同时进行比较。

由于一般所研究的微分方程的解是不能解的，所以李雅普诺夫在他的上述论文中提出了两种方法来解决这个问题，这两种方法被称为李雅普诺夫第一方法和第二方法。

李雅普诺夫第一方法所有以研究微分方程组的一般解或特解为基础的研究扰动运动的方法都归为第一方法。一般情况下，该方法需要以任意常数的正整数次幂的无穷级数或具有其他一些特征的级数的形式求解，因此又称幂级数展开法。考虑一个微分方程组

(8)

令(8)的右边函数展开成x1 x2…xn的幂级数，也就是

(9)

式中，系数psr(t)连续，有界，满足所有t[t0， +]

(10)

0

(11)

将式11代入式8，其右端s(t, x1, x2，…)， xn)重写为项的新幂级数，其中Q(t)表示t的函数。吴r说新的幂级数m1h1 +…加上mkhk等于m的所有项的有限和reorder

(12)

(13)

显然只取决于R Wu PSR (t)和(9)系数，因此，从(12)，(13)可以逐项确定x扏，x扐，…由此可以形式化地得到级数(11)。Lyapunov证明：给定任意有限区间[t0, T](Tt0)，存在一个常数0AC，使得对于所有初值=(1， 2，…)， alpha n)，多个alpha lot A，或更少级数(11)对于所有t[t] t0，且多个alpha lot A绝对或更少且一致收敛，且xs (t)为(8)满足xs (t0)=alpha s (s=1,2，…进一步，在附加条件下，他证明了：对于所有tt0，所得到的(11)仍然是(8)的解，即证明了解在区间[t0， +]上的存在性，并得出了解的稳定性结论(见下定理)。这表明李亚普诺夫存在性定理不仅在稳定性方面，而且在常微分方程理论中都具有非常重要的作用，而李亚普诺夫存在性定理在原理上不同于柯西-皮卡存在性定理。

在他的第一种方法中，李亚普诺夫引入了以下重要概念。

设t是定义在t[t0， +]上的连续函数，就像任意实数0中的某个实数

称为是函数(t)的李雅普诺夫特征数，或者简称为特征数。X=。如果我们对所有实数有x=+的定义；如果对所有实数都定义了x=-，则函数t的特征数x可以用公式计算。函数集合x(t)=(x1(t)， x2(t)，…记录xn(t))的特征数为1或2，定义为1=min, 1，…X}。

李亚普诺夫建立了一个系数连续有界的线性微分方程组

(14)

(14)(14)的所有非平凡解具有有限特征数；它不能有超过n个具有不同特征数的非平凡解；任何一个基本解系统的特征数s的和满足

(2)正规解系统(14)的基本解系统，如果由系统中任意解的非零系数的线性组合得到的解的特征数等于参与该组合的解的最低特征数，则称为正规解系统。Lyapunov证明了系数连续有界的线性微分方程(14)必须有正解系统；它的一个基本解系正规的充分必要条件是其特征数的和s达到最大值。

(3)正则系统(14)的正规解系统大于s+0，则称为正则系统(14);其中(14)的正规解系统大于s+0，则称为非正则系统(14)。

Lyapunov第一种方法的稳定性定理如下：设式(8)满足条件(9)和(10)，其中系数psr(t)是t在[t0， +]上的连续有界函数；设(8)的第一个近似系统(14)是一个正则系统，它的所有特征数都是正的。则式(8)的零解为x1=x2=…=xn=0渐近稳定。这个定理适用于s(t, x1, x2…)， xn)可以被削弱。例如，假设域xs中的sH(s=1,2…n)， tt0，其中A0和m1为常数，保证(8)初值问题解的存在唯一性。

常系数线性系统和周期系数线性系统都是正则系统。常系数线性系统的特征数是该系统特征根实部的反号。具有周期系数的线性系统的特征数是该系统特征指数实部的反号。因此，当(8)的第一个近似系统(14)是常系数或周期系数系统(见线性常微分方程)时，得到(8)的零解渐近稳定的定理。

Lyapunov还证明了如果(8)的第一近似系统(14)不是正则系统，即s+=-0，且(14)的所有特征数k和其他条件保持定理中所述，则(8)的零解是渐近稳定的。

李亚普诺夫的第一种方法依赖于对第一近似系统的特征数的研究。特征数在变系数线性方程中的重要性与特征根在常系数线性方程中的重要性同样重要。这些数字表示解的增长为t+，因此它们在解的渐近状态研究中具有重要意义。但是变系数线性方程组解的特征数是很难确定的。线性方程组的一个小变化是否只会导致特征数的一个小变化？。Malkin于1952年提出了线性方程特征数稳定性的概念，并建立了一些判断线性方程特征数稳定性的准则。B. Beloff等人不仅研究了扰动为线性的系统的最大(小)特征数的稳定性问题，而且研究了扰动为非线性的系统的特征数的符合问题。迄今为止，特征数理论在许多方面得到了发展。

用一次性逼近确定非线性系统的稳定性问题，除上述李雅普诺夫功外，还有两个。Perron、、Pelsidsky、Malkin和R. Behrman等人已经做了大量的研究。值得指出的是，对于满足上述条件的任意s，仅一阶近似系统(14)零解的渐近稳定性不足以保证非线性系统(8)零解的稳定性。

李雅普诺夫直接法是第二种李雅普诺夫方法，它不需要寻求运动方程的特解。将无扰动运动的稳定性简化为平凡解xi=0(i=1,2，…)n)， Lyapunov将稳定或不稳定的事实与某个函数V(x1, x2…xn)。这个函数沿轨道对时间t的总导数有一定的性质。例如，这个方程

(15)

相当于

(16)

作为系统的总能量函数

(17)

它沿着(16)轨道对t的总导数所以(16)的平凡解是稳定的。

另一个例子是方程组

(18)

函数

(19)

则

(20)

且

(c为任意正常数)。

所以(18)的平凡解是渐近稳定的。(20)表示闭合曲线族x2+y2=C沿着(18)的相位轨道沿t递增方向不断收缩，直至收缩到原点。换句话说，随着t的增加，(18)的相轨道通过每条闭合曲线V(x, y)=C向外和向内传递，最终接近原点。这里，函数(19)表示(18)所描述的运动粒子与相平面原点之间距离的平方。因此(当x2+y20时)表示距离随着时间的增加而不断减小，最终趋近于零。前面的函数(17)与(19)具有相同的属性。

由以上两个例子可以看出，在研究常微分方程描述的动力系统的稳定性时，不需要求其特解和通解，而需要构造一类具有特殊性质的函数V(x, y)，通过它可以控制相轨迹的运动，从而解决无扰动运动的稳定性问题。称这种类型的函数V为李雅普诺夫函数。它有多种施工方法，一般结合实际物理背景来做。

我们总是假设函数V在坐标原点V(0,0，…)的邻域中有一个连续的单值。 0)=0，且具有连续偏导数。称函数为V(x1, x2…， xn)是一个正数(正数或负数)，当xsh (h小到足以满足正数时，s=1,2…N)，它只能取固定符号的值，并且只有当xs=0(s=1,2，…N)等于零。设V(x1, x2…， xn)对于数(正或负)，如果它在区域| xs | h或更小(s=1,2，…)N)只能取某个符号的值，但也可以取0的值。设V(x1, x2…， xn)是变量，如果它既不是定的也不是正态的，也就是说，无论h有多小，它在区域内可以是正的，也可以是负的。通常采用二次型作为李雅普诺夫函数，这是应用最广泛的一种。

下面是李亚普诺夫关于稳定性的定理。

考虑自治系统(或平稳系统，即与方程右侧的t无关的系统)

(21)

假设函数s(x1, x2…， xn)在区域xs | h或更少(s=1,2，…N)，使方程(21)通过区域(x10, x20…x0有且只有一个解，x s(0,0，…)， 0)=0(s=1,2…， n)，则：

定理1如果我能找到一个函数，它的正号是V (x1, x2…Xn，它对时间t对21的全导数

是正负号与V相反或等于零的正负号函数，则(21)xs=0(s=1,2，…N)是稳定的。

定理2，如果我能找到一个定符号函数V(x1, x2…， xn)，对于(21)形成的总导数在t时刻也是定的，但它的正负号与V的正负号相反，则(21)的无扰动运动xs=0(s=1,2…N)是渐近稳定的。

定理3如果我们能找到函数V(x1, x2…(21)对时间t的满导数是定函数，而函数V本身不是带反号的正函数，则(21)的无扰动运动xs=0 (s=1,2，…N)不稳定。

定理4如果存在函数V(x1, x2，…)， xn)，它对时间t的全导数由(21)构成，其中0是常数W(x1, x2…， xn)要么等于零，要么是正规函数，而在后者，V不是与W符号相反的正规函数，则(21)xs=0(s=1,2，…N)不稳定。

在定理3中，可以削弱导数为定号的要求，如果在V0区域内的所有点上都用正值代替，则定理结论仍然成立。H. -Chetaev是第一个指出这一点的人。他得到了以下定理：如果对于(21)可以找到这样的函数V(x1, x2，…)， xn)，使得：

(1)在坐标原点的任意小邻域中存在一个V0区域，其边界处V=0;

(2)在V0区域内的所有点取正值。则(21)的无扰动运动为xs=0 (s=1,2，…n)不稳定的；

E.A. Barbasin和H.H. Krasowski对渐近稳定性定理作了改进，其特点是利用带正导数的Lyapunov函数求解渐近稳定性问题，并将其推广到整个空间，得到如下定理：对于方程组(21)存在一个正定函数V(x1, x2，…Xn)，所以

而这样的集合，除了原点外不包含整个正半轨迹，则(21)xs=0(s=1,2，…N)是渐近稳定的。

对于非平稳系统，Lyapunov同样建立了判定无摄动运动稳定性、渐近稳定性和不稳定性的定理。

利用上述定理，Lyapunov还研究了常系数近似下非线性系统零解的稳定性。特别对特征方程具有一个零根、两个零根或一对共轭纯虚根，而其他根具有负实部的三种临界情况进行了仔细的分析。对于第一近似为周期系数的情况，他分析了特征方程有一个根等于1和两个共轭虚根且模等于1的情况。

指出李雅普诺夫意义上的稳定性质是一个局部概念，但李雅普诺夫函数处理局部问题的思想方法可以完全推广到整个相空间。事实上，早在20世纪50年代初，自动调节系统研究中遇到的Lillier问题和Ozelmann问题就已经出现在任意大的初始摄动情况下，因此研究无扰动运动的全局渐近稳定性是很自然的。此时，式(21)的右函数满足保证解在整个空间R上的存在唯一性条件。假设xs=0(s=1,2…N)是(21)的唯一奇点。如果(21)的零解是稳定的，则称它是全局渐近稳定的，对于(21)的所有解，有。

Barbashin和Krasowski引入了无穷函数的概念，即如果函数V(x1, x2…， xn)的任意大数K0，都有几个R0，只要有| V (x1, x2，…)， xn) | K，表示函数V是无限的。自然地，他们将Lyapunov的局部渐近稳定性定理推广到整个空间，给出了以下定理：

(1)若存在一个定号为V(x1, x2，…)的无穷函数Xn对t的总导数由方程组(21)

是与V号相反的定符号函数，则式(21)的零解是全局渐近稳定的。

(2)若存在一个定号为V(x1, x2，…)的无穷函数， xn)，其对t的总导数由方程组(21)构成，是一个V的反号正规函数，集合

如果系统(21)的零解除零解外不包含任何正半轨迹，则系统(21)的零解是全局渐近稳定的。这两个定理为全局渐近稳定性理论奠定了基础。

J.P. Lasalle建立了解的-极限集的不变性原理(见拓扑动力系统):设G是Rn中的紧集，从G出发的方程(21)的轨道在未来仍在集合G中；如果在G, xn中存在一个函数V (x1, x2，…)，使得M是E中的最大不变集，那么从G开始的(21)的每条轨迹都必须以t+的方式接近M。显然，如果G=Rn, M=，且(21)的所有解都有界，则(21)的零解是全局渐近稳定的。

自调节系统稳定性在现代工业中的作用是众所周知的。调节系统分为直接调节系统和间接调节系统。他们的数学模型是

(22)

或

(23)

式中，sj, bs，) s(s, j=1,2，…n)是一个常数，就像土星()

(24)

如果对任意满足(24)的宇宙()，系统(22)的零解x1=x2=…=xn=0(或(23)零解x1=x2=…=xn==0)是全局渐近稳定的，则方程组(22)(或(23))在角度(0，)范围内是绝对稳定的。确定绝对稳定性的主要方法是选择一个正定无穷函数，并给出保证其总导数为负定的条件。

除了上述几种稳定性之外，还有Lyapunov研究过的有关部分论证的稳定性。马尔金对恒定扰动下稳定性的研究。Lasalle和S. Lefshetz所指出的实际稳定性，以及目前蓬勃发展的大系统的稳定性，以及与动力系统密切相关的轨道稳定性和结构稳定性等。

随着科学技术的迅速发展，李亚普诺夫创立的运动稳定性理论，不仅在力学、控制、工程及星际航行等科学尖端技术领域有其广泛深刻的应用，而且在现代物理、生物、化学等自然科学中得到了进一步的发展，同时它亦逐渐发展成为常微分方程学科本身许多课题理论研究的有力工具。李亚普诺夫稳定性理论中的一个核心问题，就是李亚普诺夫函数的构造问题。30多年来人们作了不少的努力，但对于一般非线性系统，还没有得到通用而有效的构造方法。虽然如此，针对实际问题中出现的各种非线性系统，通过定性分析并根据实际情况进行具体分析，从而构造出恰当的李亚普诺夫函数，还是取得了丰富的成果。

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