实对称矩阵的性质 实对称矩阵的性质证明
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实对称矩阵的性质：实对称矩阵的特征值是实数，特征向量可以取为实向量。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。实对称矩阵可以是正交的类似对角化。n阶实对称矩阵A可以相似对角化，相似对角矩阵上的元素是矩阵本身的特征值。如果A有k个特征值0，那么必然有k个线性无关的特征向量，或者秩r(0E-A)一定是n-k，其中E是单位矩阵。
如果有一个n阶矩阵A，它的元素是实数，并且它的转置等于它本身(aij=aji，其中i和j是元素的脚本)，那么我们说A是一个实对称矩阵。对称矩阵只是说A^T=A并不是说矩阵中的元素是实数，矩阵中的元素不仅可以是实数，也可以是虚数，即使元素本身是矩阵或者其他更一般的数学对象。一个实对称矩阵告诉你矩阵的元素必须是实的。
一个自然的推论是，如果A有n个不同的特征值，那么A一定是对角化的。然而，一个实对称矩阵并不一定有n个不同的特征值。我将用不变子空间来证明它。
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